CYKLOIDA
Gdy koło toczy się po prostej, punkt (np.: gwóźdź) na
jego obwodzie opisuje cykloidę. Podczas obrotu koła w każdej chwili punkt na
obwodzie koła biegnie ku najwyższemu punktowi lub ucieka od niego, a szybkość
jest proporcjonalna do odległości ruchomego punktu od najniższego punktu.
Długość cykloidy pomiędzy dwoma ostrzami jest równa obwodowi kwadratu opisanego
na kole toczącym się (RYSUNEK 1).
Jeżeli punkt nie będzie umieszczony na
obwodzie koła, ale bliżej środka, to otrzymamy krzywą bez ostrzy (RYSUNEK 2),
natomiast jeśli ten punkt będzie umieszczony na przedłużeniu promienia (poza
kołem), powstanie krzywa z pętlami (RYSUNEK 3).
Pytanie: Jaka jest długość cykloidy w rysunku 2 i 3,
jeśli będą dane odległości punktu od środka okręgu?
Liczba
ᴫ
Już
w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu
do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się liczbę
ᴫ)
jest wielkością stałą i co istotne, wielce przydatną do
obliczania pól rozmaitych figur. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy
dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli
przybliżenie ᴫ
z
dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można
stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu
nie znanych nam z imienia uczonych. W III wieku przed Chrystusem,
Archimedes oszacował pi jako (czyli z dokładnością do dwóch
miejsc po przecinku), a do wwyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku
naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz. Używany dzisiaj symbol ᴫ
nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706
roku Wiliam Jones (ᴫ
pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia").
Liczba ta nazywana jest również ludolfiną, od imienia Ludolpha van
Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością
35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym
wyczynem. Obecnie nie ma problemów, aby poznać liczbę ᴫ
choćby do milionowego miejsca po przecinku, z pomocą ludziom
przychodzą komputery. Jesienią 1995 r. ogłoszony został rekord
wynoszący ^ 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za
pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi,
sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego
z nich wynosił 5 dni!!!
Zadanie:
Spróbuj zapamiętać jak najwięcej liczb po przecinku liczby ᴫ
ᴫ
3,141592653589793238462643383279502884197169...
Może
pomoże Ci wiersz Wisławy
Szymborskiej:
„Liczba
Pi”
Podziwu
godna liczba Pi
trzy koma jeden
cztery jeden.
Wszystkie
jej dalsze cyfry też są początkowepięć
dziewięć dwa,
ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć
pięć trzy pięć spojrzeniem,osiem
dziewięć obliczeniem,siedem
dziewięć wyobraźnią,
a
nawet trzy
dwa trzy osiem
żartem, czyli porównaniemcztery
sześć do
czegokolwiekdwa
sześć cztery trzy na
świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się
urywa.
Podobnie, choć trochę później, czynią węże
bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie
zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po
stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury,
prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O,
jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień
gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa
trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój
numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset
siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców
sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada
i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza
się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale
nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe
jeszcze pięć,
nie
byle jakie osiem,
nie
ostatnie siedem,
przynaglając,
ach przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.
TRÓJKAT
PASCALA
Jednym
z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt
Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego
matematyka i filozofa).Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1”
na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej
w układzie trójkąta.
Każda cyfra
stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb, np. w czwartym
wierszu otrzymujemy 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 1 = 4
1
1
1
1
2 1
1
3 3 1
1
4 6 4 1
1
5 10 10 5 1 i tak dalej.
Ciekawostką
jest, że kolejne wyrazy w danym wierszu trójkąta Pascala
wyznaczają współczynniki do wzorów skróconego mnożenia:
,
czyli pierwszy wiersz
,
1 1 czyli drugi wiersz
,
1
2 1 czyli trzeci wiersz
,
1331
trzeci wiersz
,
14641
czwarty wiersz.
Zadanie:
Zauważ prawidłowość i zastanów się jak będzie wyglądać ?
Drugą
ciekawostką jest to, że suma liczb w danym wierszu trójkąta
Pascala jest kolejną potęgą liczby 2, zaczynając od potęgi
zerowej.
1 =1
1
1 =1+1
1
2 1 =1+2+1
1
3 3 1 =1+3+3+1
1
4 6 4 1 =1+4+6+4+1
1
5 10 10 5 1 =1+5+10+10+5+1