A TO CIEKAWE - MATEMATYKA

CYKLOIDA

Gdy koło toczy się po prostej, punkt (np.: gwóźdź) na jego obwodzie opisuje cykloidę. Podczas obrotu koła w każdej chwili punkt na obwodzie koła biegnie ku najwyższemu punktowi lub ucieka od niego, a szybkość jest proporcjonalna do odległości ruchomego punktu od najniższego punktu. 

Długość cykloidy pomiędzy dwoma ostrzami jest równa obwodowi kwadratu opisanego na kole toczącym się (RYSUNEK 1). 

Jeżeli punkt nie będzie umieszczony na obwodzie koła, ale bliżej środka, to otrzymamy krzywą bez ostrzy (RYSUNEK 2), natomiast jeśli ten punkt będzie umieszczony na przedłużeniu promienia (poza kołem), powstanie krzywa z pętlami (RYSUNEK 3).

Pytanie: Jaka jest długość cykloidy w rysunku 2 i 3, jeśli będą dane odległości punktu od środka okręgu?

Liczba ᴫ

Już w starożytności zauważono, że stosunek długości obwodu okręgu do długości jego średnicy (tak najczęściej definiuje się liczbę ᴫ) jest wielkością stałą i co istotne, wielce przydatną do obliczania pól rozmaitych figur. W piramidzie Cheopsa stosunek sumy dwóch boków podstawy do wysokości wynosi 3,1416, czyli przybliżenie ᴫ z dokładnością do czterech miejsc po przecinku! Dziś nie można stwierdzić, czy był to zadziwiający przypadek, czy wynik geniuszu nie znanych nam z imienia uczonych. W III wieku przed Chrystusem, Archimedes oszacował pi jako (czyli z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku), a do wwyniku 3,1416 doszedł dopiero w II wieku naszej ery Klaudiusz Ptolemeusz. Używany dzisiaj symbol ᴫ nie pochodzi wcale z czasów starożytnych. Wprowadził go w 1706 roku Wiliam Jones (ᴫ pochodzi od pierwszej litery greckiego słowa "peryferia"). Liczba ta nazywana jest również ludolfiną, od imienia Ludolpha van Ceulena, który w 1596 roku podał jej przybliżenie z dokładnością 35 miejsca po przecinku, co w tamtych czasach było ogromnym wyczynem. Obecnie nie ma problemów, aby poznać liczbę ᴫ choćby do milionowego miejsca po przecinku, z pomocą ludziom przychodzą komputery. Jesienią 1995 r. ogłoszony został rekord wynoszący ^ 442 450 000 cyfr. Odpowiednią liczbę osiągnięto za pomocą programu napisanego przez Japończyka Daisuke Takahashi, sprawdzonego niezależnie na dwóch komputerach. Czas pracy każdego z nich wynosił 5 dni!!!

Zadanie: Spróbuj zapamiętać jak najwięcej liczb po przecinku liczby ᴫ

ᴫ 3,141592653589793238462643383279502884197169...

Może pomoże Ci wiersz Wisławy Szymborskiej:

„Liczba Pi”

Podziwu godna liczba Pi
trzy koma jeden cztery jeden.
Wszystkie jej dalsze cyfry też są początkowepięć dziewięć dwa, ponieważ nigdy się nie kończy.
Nie pozwala się objąć sześć pięć trzy pięć spojrzeniem,osiem dziewięć obliczeniem,siedem dziewięć wyobraźnią,
a nawet trzy dwa trzy osiem żartem, czyli porównaniemcztery sześć do czegokolwiekdwa sześć cztery trzy na świecie.
Najdłuższy ziemski wąż po kilkunastu metrach się urywa.
Podobnie, choć trochę później, czynią węże bajeczne.
Korowód cyfr składających się na liczbę Pi
nie zatrzymuje się na brzegu kartki,
potrafi ciągnąć się po stole, przez powietrze,
przez mur, liść, gniazdo ptasie, chmury, prosto w niebo,
przez całą nieba wzdętość i bezdenność.
O, jak krótki, wprost mysi, jest warkocz komety!
Jak wątły promień gwiazdy, że zakrzywia się w lada przestrzeni!
A tu dwa trzy piętnaście trzysta dziewiętnaście
mój numer telefonu twój numer koszuli
rok tysiąc dziewięćset siedemdziesiąty trzeci szóste piętro
ilość mieszkańców sześćdziesiąt pięć groszy
obwód w biodrach dwa palce szarada i szyfr,
w którym słowiczku mój a leć, a piej
oraz uprasza się zachować spokój,
a także ziemia i niebo przeminą,
ale nie liczba Pi, co to to nie,
ona wciąż swoje niezłe jeszcze pięć,
nie byle jakie osiem,
nie ostatnie siedem,
przynaglając, ach przynaglając gnuśną wieczność
do trwania.

TRÓJKAT PASCALA

Jednym z najbardziej interesujących układów liczbowych jest trójkąt Pascala (od nazwiska Blaise'a Pascala, sławnego francuskiego matematyka i filozofa).Aby zbudować trójkąt, zacznij od „1” na wierzchołku, następnie kontynuuj układanie liczb poniżej w układzie trójkąta.
     Każda cyfra stanowi sumę dwóch wyżej położonych liczb, np. w czwartym wierszu otrzymujemy 1 + 3 = 4, 3 + 3 = 6, 3 + 1 = 4

1

1 1

1 2 1

1 3 3 1

1 4 6 4 1

1 5 10 10 5 1 i tak dalej.

Ciekawostką jest, że kolejne wyrazy w danym wierszu trójkąta Pascala wyznaczają współczynniki do wzorów skróconego mnożenia:

, czyli pierwszy wiersz

, 1 1 czyli drugi wiersz

, 1 2 1 czyli trzeci wiersz

, 1331 trzeci wiersz

, 14641 czwarty wiersz.

Zadanie: Zauważ prawidłowość i zastanów się jak będzie wyglądać ?

Drugą ciekawostką jest to, że suma liczb w danym wierszu trójkąta Pascala jest kolejną potęgą liczby 2, zaczynając od potęgi zerowej.

1 =1

1 1 =1+1

1 2 1 =1+2+1

1 3 3 1 =1+3+3+1

1 4 6 4 1 =1+4+6+4+1

1 5 10 10 5 1 =1+5+10+10+5+1